如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6,動(dòng)點(diǎn)M在棱A1B1上.
(1)求證:DM⊥AD1;
(2)當(dāng)M為A1B1的中點(diǎn)時(shí),求CM與平面DC1所成角的正弦值;
(3)當(dāng)A1M=A1B1時(shí),求點(diǎn)C到平面D1DM的距離.

【答案】分析:(1)連A1D、B1C,由正方體性質(zhì),AD1⊥A1D,A1B1⊥AD1證出AD1⊥平面A1DCB1,即可證出AD1⊥DM.
(2)在平面A1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN∥B1C1,交D1C1于N,則∠MCN為CM與平面DC1所成角.在三角形MNC中求出.
(3)由于CC1∥平面D1DMC,將點(diǎn)C到平面D1DM的距離.轉(zhuǎn)化成C1到平面D1DM的距離,作C1H⊥D1M于點(diǎn)H,證出C1H⊥平面D1DM,則C1H為所求距離.
解答:解:(1)證明:連A1D、B1C,由正方體性質(zhì),AD1⊥A1D,A1B1⊥AD1
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM?平面A1DCB1,∴AD1⊥DM
(2)在平面A1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN∥B1C1,交D1C1于N,
則MN⊥平面DC1,連NC.
則∠MCN為CM與平面DC1所成角 …(6分)
∵M(jìn)N=B1C1=6,MC==9
∴sin∠MCN==,即所求正弦值為.…(8分)
(3)連C1M,作C1H⊥D1M于點(diǎn)H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∵CC1∥D1D
D1D?平面D1DM
CC1?平面D1DM
∴CC1∥平面D1DM
連C1M,作C1H⊥D1M于點(diǎn)H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∴C1H⊥平面D1DM,C1H為C1到平面D1DM的距離即 C到平面D1DM的距離為C1H…(10分)
C1H•D1M=S△D1C1M=18,而D1M== 
∴C1H=
∴C到平面D1DM的距離為…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間角,距離的計(jì)算,線面垂直,面面垂直的定義,性質(zhì)、判定,考查了空間想象能力、計(jì)算能力,分析解決問(wèn)題能力.空間問(wèn)題平面化是解決空間幾何體問(wèn)題最主要的思想方法.
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(2)如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切,則有S=
 

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A1B
、
B1C
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13
AB

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