Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D，E分別為CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACB；
（Ⅱ）求A₁B與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求證直線DE平行于平面ABC，可利用線面平行的判定定理，因此想到在平面ABC內(nèi)找到一條與DE平行的直線即可，根據(jù)E為A₁B的中點，所以可取AB的中點F，根據(jù)三角形中位線知識證出四邊形DEFC為平行四邊形，從而得到DE∥CF，則問題得證；
（Ⅱ）連接DF，在平面EFD內(nèi)過E作EH⊥DF于H，通過證明AB垂直于平面EFD得到AB⊥EH，從而說明EH垂直于平面ABD，得到∠EBH為A₁B與平面ABD所成角，在直角三角形EHB中可求該角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，取AB中點F，連接EF，F(xiàn)C，
又因為E為A₁B的中點，
所以EF∥A₁A，，
又DC∥A₁A，
所以四邊形DEFC為平行四邊形
則ED∥CF，因為ED?平面ABC，F(xiàn)C?平面ABC，
所以ED∥平面ABC；
（Ⅱ）解：過E作EH⊥DF于H，連結(jié)HB，
由CC₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC₁⊥AB，
由AC=BC，AF=FB，所以AB⊥CF，
又CF∩CD=C，CF，CD?平面DEFC，
所以AB⊥平面DEFC，EH?平面DEFC，所以AB⊥EH，
又EH⊥DF，DF∩AB=F，AB，DF?平面ABD，所以EH⊥平面ABD，
所以∠EBH為A₁B與平面ABD所成角的平面角，
因為H為△ABD的重心，在Rt△DEF中，
所以得，
得，所以A₁B與平面ABD所成角的正弦值為．
點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面所成的角，解答此題的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)線面平行的條件，求解線面角時，找角是關(guān)鍵，必須注意的是找出的角要落在易于求解的三角形中．此題是中檔題．