Question

判斷函數(shù)f（x）=x²+2x在（-1，+∞）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明．

Answer 1

解：函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
證明如下：設(shè)x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁-（x₂²+2x₂）=x₁²-x₂²+（2x₁-2x₂）
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）
∵x₁，x₂，∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2＞0
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
分析：利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，先設(shè)在所給區(qū)間上有任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁）與
f（x₂）的大小，做差后，應(yīng)把差分解為幾個(gè)因式的乘積的形式，通過判斷每一個(gè)因式的正負(fù)，來判斷積的正負(fù)，最后的出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)應(yīng)該嚴(yán)格按照步驟去做．