Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱AB的中點，點P在平面A₁B₁C₁D₁，D₁P⊥平面PCE．
試求：
（1）線段D₁P的長；
（2）直線DE與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D₁（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．

設(shè)P（x，y，2），則，，
因為D₁P⊥平面PCE，所以D₁P⊥EP，D₁P⊥EC，
所以，解得（舍去）或 …（4分）
即P（），所以，所以．…（6分）
（2）由（1）知，平面平面PCE，
設(shè)DE與平面PEC所成角為θ，與所成角為α，則
所以直線DE與平面PEC所成角的正弦值為． …（10分）
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用D₁P⊥平面PCE，確定P的坐標(biāo)，從而可求線段D₁P的長；
（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夾角公式可求直線DE與平面PEC所成角的正弦值為．
點評：本題考查的知識點是用空間向量表示直線與平面所成角，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間點，線，面之間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵．