Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中a1=

1

2

，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²a_n（n≥1），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若數(shù)列{c_n}滿足cn=

1 nan ，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）b_n=2ⁿ．假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立，由此能導(dǎo)出m的最小值．
（Ⅲ）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

++

1

nan

]+(b2+b4++bn-1)，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

++

1

(n-1)an-1

]+(b2+b4++bn)，由此能推導(dǎo)出當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=n²a_n（n≥1），
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²a_n-1．
所以a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1．
所以（n+1）a_n=（n-1）a_n-1．
即

an

an-1

=

n-1

n+1

．
又a1=

1

2

，
所以an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

••

a3

a2

•

a2

a1

•a1=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

••

2

4

•

1

3

•

1

2

=

1

n(n+1)

．
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立
因?yàn)閎₁=2，b_n+1=2b_n，
所以{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ．
則1+

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

=1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=2-

1

2n-1

．
假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立，
即2-

1

2n-1

＜

m-8

4

恒成立．
由

m-8

4

≥2，解得m≥16．
所以存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

++

1

bn-1

＜

m-8

4

恒成立．此時(shí)m的最小值為16．
（Ⅲ）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

++

1

nan

]+(b2+b4++bn-1)
=（2+4++n+1）+（2²+2⁴++2^n-1）=

2+n+1

2

•

n+1

2

+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

++

1

(n-1)an-1

]+(b2+b4++bn)
=（2+4++n）+（2²+2⁴++2ⁿ）=

2+n

2

•

n

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．
因此Tn=

n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，??當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).

點(diǎn)評：本題是考查數(shù)列知識的綜合運(yùn)用題，難度較大，在解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)作答．