理科(本小題14分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;(Ⅱ)已知結(jié)論:若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且,則存在,使得.試用這個(gè)結(jié)論證明:若,函數(shù),則對(duì)任意,都有;(Ⅲ)已知正數(shù)滿足求證:當(dāng),時(shí),對(duì)任意大于,且互不相等的實(shí)數(shù),都有
(Ⅰ).
(Ⅱ)
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,;(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】
試題分析:(Ⅰ). 由,得,此時(shí).
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值,故. 3分
(Ⅱ)令, 4分
則.函數(shù)在上可導(dǎo),存在,使得.
又
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,;
故對(duì)任意,都有. 8分
(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí),,且,,
,由(Ⅱ)得,即
,
當(dāng)時(shí),結(jié)論成立. 9分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即當(dāng)時(shí),
. 當(dāng)時(shí),設(shè)正數(shù)滿足令,
則,且.
13分
當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立.
綜上由①②,對(duì)任意,,結(jié)論恒成立. 14分
考點(diǎn):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明,數(shù)學(xué)歸納法。
點(diǎn)評(píng):難題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題(III)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,難度較大。涉及對(duì)數(shù)函數(shù),要特別注意函數(shù)的定義域。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)
已知點(diǎn)P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x ?? –1)的圖象上,且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ?? 0 ).
(1) 求證:| ac | ?? 4;(2) 求證:在(–1,+∞)上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西南昌八一、洪都、麻丘中學(xué)高二上期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)(理科)已知橢圓,過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1,且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),且,,
求證:為定值,并計(jì)算出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知數(shù)列和滿足:,,,(),且是以為公比的等比數(shù)列.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅲ)(理科做,文科不做)若,求和:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2012年高考四川卷理科22) (本小題滿分14分)
已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求對(duì)所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),比較與的大小,并說明理由.
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