Question

17．已知圓C經(jīng)過M（3，-3），N（-2，2）兩點，且在y軸上截得的線段長為$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l∥MN，且l與圓C交于點A，B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知M，N兩點求出線段MN的垂直平分線的方程，得到圓心C（a，a-1），尋找未知數(shù)之間的關系是求圓的方程的關鍵，注意弦長問題的處理方法；
（Ⅱ）利用直線的平行關系設出直線的方程，利用設而不求的思想得到關于所求直線方程中未知數(shù)的方程，通過方程思想確定出所求的方程，注意對所求的結果進行驗證和取舍．

解答 解：（Ⅰ）圓C經(jīng)過M（3，-3），N（-2，2）兩點，則線段MN的垂直平分線的方程是y+$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{2}$，即y=x-1，
∴圓心C（a，a-1）．
又由在y軸上截得的線段長為4$\sqrt{3}$，
得（a-3）²+（a+2）²=12+a²，解得：a=1．
故圓C的方程為（x-1）²+y²=13；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=-x+m，
則A（x₁，m-x₁），B（x₂，m-x₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=13}\end{array}\right.$，得2x²-（2+2m）x+m²-12=0．
由△＞0，∴m²-2m-25＜0
∴x₁+x₂=1+m，x₁x₂=$\frac{{{m^2}-12}}{2}$．
則由題意可知OA⊥OB，即k_OA•k_OB=-1
∴$\frac{{（m-{x_1}）}}{x_1}•\frac{{（m-{x_2}）}}{x_2}=-1$，即m²-m•（1+m）+m²-12=0，
∴m=4或m=-3．經(jīng)驗證符合△＞0，
∴y=-x+4或y=-x-3．

點評 本題考查直線與圓的綜合問題，考查直線方程的求解方法和圓方程的求解方法，注意待定系數(shù)法的運用，考查學生對直線與圓相交弦長有關問題的處理方法，考查設而不求思想的運用，考查方程思想和轉化與化歸的思想，是中檔題．