Question

已知圓C:.

(1)直線過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

(2)過(guò)圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于y軸的直線m，設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)為N，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

 (3) 若點(diǎn)R(1,0)，在（2）的條件下，求的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）3x-4y+5=0或x=1 ；(2) 點(diǎn)的軌跡方程是  () ；

（3）Q的坐標(biāo)為 。

【解析】(1)分別討論直線l的斜率存在和不存在兩種情況.當(dāng)斜率不存在時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式再結(jié)合的圓的弦長(zhǎng)公式可求出斜率k值.進(jìn)而求出直線l的方程.

(2)本小題屬于相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，先設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(),然后根據(jù),用x,y表示,再根據(jù)點(diǎn)M在圓上，可得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

(3)設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y),得,再利用點(diǎn)Q的軌跡方程，消去y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次函數(shù)來(lái)確定其最值，要注意x的取值范圍.

（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

和，其距離為，滿(mǎn)足題意                            ………1分

②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即 ………2分

設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得∴，…4分

故所求直線方程為3x-4y+5=0   

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)則N點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)

  ∵，∴  即，    ………7分

又∵，∴                     …………9分

由已知，直線m //y軸，所以，,

∴點(diǎn)的軌跡方程是  ()                ……………10分

（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)，， ， …………11分

又  ()可得：

.         ………………13分

      

此時(shí)Q的坐標(biāo)為  …………14分