Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1(x∈R)．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知f(A)=

1

2

，2a=b+c，bc=18．求a的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)確定出的f（x）解析式，以及f（A）=

1

2

，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，變形后將cosA，2a=b+c，以及bc=18代入即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x-

π

6

）+2cos²x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z），解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）由f（A）=

1

2

，得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
又2a=b+c，bc=18，
∴a²=18，
∴a=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．