Question

19．函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+3，a∈R
（1）若a＜0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式2xlnx≤f'（x）+a²+1恒成立，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函的遞減區(qū)間即可；
（2）問題等價于$a≥lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，令$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）…（2分）
由f'（x）＜0且a＜0得：$\frac{a}{3}＜x＜-a$…（4分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$（\frac{a}{3}，-a）$…（5分）
（2）依題意x∈（0，+∞）時，不等式2xlnx≤f'（x）+a²+1恒成立，
等價于$a≥lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．…（7分）
令$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$
則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{{2{x^2}}}=-\frac{（3x+1）（x-1）}{{2{x^2}}}（x＞0）$…（9分）
當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時，h（x）取得最大值h（1）=-2
故a≥-2…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．