Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{S_n+λ•n+

λ

2n

}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件可得 2a_n+1 +S_n -2=0，可得n≥2時，2a_n+s_n-1-2=0，相減可得

an+1

an

=

1

2

  （n≥2）．由此可得{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）先求出s_n=2-(

1

2

)n-1，若數(shù)列{S_n+λ•n+

λ

2n

}為等差數(shù)列，則由第二項的2倍等于第一項加上第三項，求出λ=2，經檢驗λ=2時，此數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)，故滿足數(shù)列為等差數(shù)列，從而得出結論．

解答：解：（Ⅰ）∵點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上，∴2a_n+1 +S_n -2=0． ①
n≥2時，2a_n+s_n-1-2=0．       ②
①─②得 2a_n+1 -2a_n+a_n=0，∴

an+1

an

=

1

2

  （n≥2）．
再由a₁=1，可得 a₂=

1

2

．
∴{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n =(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得  s_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1．
若數(shù)列{S_n+λ•n+

λ

2n

}為等差數(shù)列，
則 s₁+λ+

λ

2

，s₂+2λ+

λ

22

，s₃+3λ+

λ

23

 成等差數(shù)列，
∴2（s₂+2λ+

λ

22

）=（s₁+λ+

λ

2

）+（s₃+3λ+

λ

23

），解得 λ=2．                  
又λ=2時，S_n+λ•n+

λ

2n

=2n+2，顯然 {2n+2}成等差數(shù)列，
故存在實數(shù)λ=2，使得數(shù)列 {S_n+λ•n+

λ

2n

}成等差數(shù)列．

點評：本題主要考查等差關系的確定，根據(jù)數(shù)列的遞推關系求通項，屬于中檔題．