Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，bn=(

1

2

)an，已知b1+b2+b3=

21

8

，b1b2b3=

1

8

，
（1）求{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）設c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件，建立方程組即可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式進行分組求和．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，
設{a_n}的公差為d．
則

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數(shù)，
又b_n＞0．
即{b_n}為以(

1

2

)a1為首項，公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列．
∵b1+b2+b3=

21

8

，b1b2b3=

1

8

，
∴

b

3 2

=

1

8

，∴b2=

1

2

，
∴b1+b3=

17

8

．
解得b₁=2，b₃=

1

8

或b₁=

1

8

，b₃=2
∴a₁=-1，d=2或a₁=3，d=-2．
∴當a₁=-1，d=2時，a_n=a₁+（n-1）d=2n-3．此時bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-3．
當a₁=3，d=-2時，a_n=a₁+（n-1）d=5-2n．此時bn=(

1

2

)an=(

1

2

)5-2n．
（2）由（1）知，{b_n}為以(

1

2

)a1為首項，公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列．
∴設{a_n}與{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，則{c_n}的前n項和S_n=A_n+B_n，
①若a_n=2n-3，則b_n=(

1

2

)2n-3．公比q=

1

4

，則S_n=A_n+B_n=

(3+2n-3)n

2

+

2[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=n²+

8

3

-

8

3

(

1

4

)n．
②若a_n=5-2n，則b_n=(

1

2

)5-2n．公比q=4，則S_n=A_n+B_n=

n(3+5-2n)

2

+

1 8 (1-4n)

1-4

=-n2+4n+

1

24

?4n-

1

24

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式以及求和公式的計算，要求熟練掌握相應的通項公式和前n項和公式，考查學生的計算能力．