Question

定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）的最小值為3，且當x≥0時，f（x）=3e^x+a，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．（2）求最大的整數(shù)m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex．

Answer 1

（1）∵y=e^x是增函數(shù)，∴當x≥0時，f（x）為增函數(shù)，又f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）_min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0
當x＜0時，∵-x＞0∴f（x）=f（-x）=3e^-x
綜上，f(x)=

3ex?x≥0 3e-x?x＜0

（2）當x∈[1，m]時，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
當1+t≥0時，3e^1+t≤3e即e^1+t≤e，1+t≤1，∵-1≤t≤0
當1+t≤0時，同理，-2≤t≤-1，∴-2≤t≤0
同樣地，f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em∴et≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵e^t在[-2，0]上的最小值為e^-2，∵e-2≤

em

em

，即e^m-e³m≤0①
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞）．
則g'（x）=e^x-e³由g'（x）=0得x=3
當2≤x＜3時，g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；當x＞3時，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)
∴g（x）的最小值是g（3）=e³-3e³=-2e³＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5）．
當2≤x≤m₀時，g（x）≤0，當x＞m₀時，g（x）＞0∴在x∈[2，+∞）時滿足不等式①的最大實數(shù)解為m₀
當t=-2，x∈[1，m₀]時，f（x-2）-3ex=3e（e^|x-2|-1-x），在x∈[1，2）時，∵e^|x-2|-1=e^1-x≤1∴f（x-2）-3ex≤0，在x∈[2，m₀]時，f（x-2）-3ex=3e(ex-3-x)=

3

e2

g(x)≤0
綜上所述，m最大整數(shù)為4．