Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）+f（-x）=0，當(dāng)x＞2，f（x）單調(diào)遞增，如果x₁+x₂＜4且x₁x₂-2x₁-2x₂+4＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

• A、恒小于0
• B、恒大于0
• C、可能為0
• D、可正可負(fù)

Answer 1

分析：題設(shè)中條件眾多，欲判斷f（x₁）+f（x₂）的符號，有兩種可能一是-f（x₁）＞f（x₂），一是-f（x₁）＜f（x₂），又f（-x）=-f（x+4），令x=-x₁，即得f（x₁）=-f（4-x₁），由此問題轉(zhuǎn)化為比較f（4-x₁）與f（x₂）的大小比較，由題設(shè)條件易證．

解答：解：設(shè)x₁＜x₂，由（x₁-2）（x₂-2）＜0，得x₁＜2，x₂＞2．
再由x₁+x₂＜4得，4-x₁＞x₂＞2，因?yàn)閤＞2時，f（x）單調(diào)遞增，所以f（4-x₁）＞f（x₂）．
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x₁，可得 f（x₁）=-f（4-x₁），所以-f（x₁）＞f（x₂），
即f（x₁）+f（x₂）＜0，
故選A．

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行靈活變形，轉(zhuǎn)化證明的能力，本題對靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高，依據(jù)條件靈活轉(zhuǎn)化是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的表現(xiàn)，屬于中檔題．