Question

已知三點(diǎn)O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足.

（1）   求曲線C的方程；

（2）動點(diǎn)Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l向：是否存在定點(diǎn)P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點(diǎn)分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 （1）    （2）2

【解析】（1）依題意可得，

，

由已知得，化簡得曲線C的方程：

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t<0）滿足條件，則直線PA的方程是，直線PB的方程是，曲線C在點(diǎn)Q處的切線l的方程為它與y軸的交點(diǎn)為，由于，因此

①當(dāng)時(shí)， ，存在，使得，即l與直線PA平行，故當(dāng)時(shí)不符合題意

②當(dāng)時(shí)，，所以l 與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組，

解得D，E的橫坐標(biāo)分別是

則，又，

有，又

于是

對任意，要使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)，只需t滿足，

解得t=-1，此時(shí)△QAB與△PDE的面積之比為2，故存在t=-1，使△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2。

【點(diǎn)評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率等基本性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，定點(diǎn)，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，準(zhǔn)線等基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系引申出的相關(guān)弦長問題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，定點(diǎn)，定值，探討性問題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結(jié)合考查的可能性較大，因?yàn)樗鼈兌际强季V要求理解的內(nèi)容.