已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點，其離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點．求O到直線距離的l最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）直接把點的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率為求出a，b，c即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)平行四邊形的特征可得，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到k與m的關(guān)系，最后根據(jù)點到直線的距離公式得到關(guān)于k的函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)求最值的方法求出答案即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知，，
所以3a2=4b2，①（1分）
又點在橢圓C上，
所以，②
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）當(dāng)直線l有斜率時，設(shè)y=kx+m時，
則由
消去y得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0，③
設(shè)A、B、P點的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），
則：，
由于點P在橢圓C上，所以．
從而，化簡得4m2=3+4k2，經(jīng)檢驗滿足③式．
又點O到直線l的距離為：．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時等號成立，
當(dāng)直線l無斜率時，由對稱性知，點P一定在x軸上，
從而P點為（-2，0），（2，0），直線l為x=±1，所以點O到直線l的距離為1，
所以點O到直線l的距離最小值為．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)算并且抓住式子的結(jié)構(gòu)特征利用函數(shù)求最值的方法解決問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是(    )

A.                    B.               C.                 D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆廣東省、陽東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF2交橢圓于另 一點B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓（a>b>0）,點在橢圓上。

（I）求橢圓的離心率。

（II）設(shè)A為橢圓的右頂點，O為坐標(biāo)原點，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值。

【考點定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識. 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．

   （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （2）當(dāng)橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

(本小題滿分分)

（普通高中）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，焦距是函數(shù)的零點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點,，求k的值．

 

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