Question

已知函數(shù)f（x）=2ax++lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1，x=處取得極值，求a，b的值；
（2）若f′（1）=2，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上，f（x）是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，（2分）
∵函數(shù)f（x）在x=1，x=處取得極值，
∴，∴，∴． （4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
因為f'（1）=2，所以b=2a-1． （5分）
所以 （7分）
要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
當a=0時，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)； （9分）
當a＜0時，令f'（x）=0，得x₁=-1，，
此時f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)； （10分）
當a＞0時，要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要1-2a≥0，即
綜上所述，a的取值范圍是． （12分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1，x=處取得極值，建立方程組，即可求a，b的值；
（2）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），由f'（1）=2，可得b=2a-1，求導(dǎo)函數(shù)，要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，由此可得a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．