Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+1（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，2]的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件“f（x）在x=1處取得極值”可得f'（1）=0，解方程即可；
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），然后討論a的值，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可
（Ⅲ）討論a的取值范圍，再根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax，
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，所以f'（1）=0，解得a=-1．（2分）
（Ⅱ）f'（x）=6x（x+a），
①當(dāng)-a=0時(shí)，f'（x）=6x²≥0，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
②當(dāng)-a＜0，即a＞0時(shí)，由f'（x）=6x（x+a）＞0
得x＜-a或x＞0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a）和（0，+∞）；
由f'（x）=6x（x+a）＜0得-a＜x＜0，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-a，0）；
③當(dāng)-a＞0即a＜0時(shí)，
由f'（x）=6x（x+a）＞0得x＞-a或x＜0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（-a，+∞）；
由f'（x）=6x（x+a）＜0，得0＜x＜-a，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-a）．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a）和（0，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-a，0）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（-a，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-a）．（8分）
（Ⅲ）①當(dāng)-a≤0即a≥0時(shí)，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（0）=1；
②當(dāng)0＜-a＜2，即-2＜a＜0時(shí)，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，2]
上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值為f（-a）=a³+1；
③當(dāng)-a≥2即a≤-2時(shí)，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最小值為f（2）=17+12a．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=1；-2＜a＜0時(shí)，f（x）的最小值為f（-a）=a³+1；a≤-2時(shí)，f（x）的最小值為f（2）=17+12a．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．