Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分別是棱PD、BC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求直線PF與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點G，連接BG，GE，證明四邊形BFEG是平行四邊形，即可證明EF∥平面PAB；
（2）以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的平面直角坐標系，求出平面PAC的法向量，即可求直線PF與平面PAC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取PA的中點G，連接BG，GE，
∵E為PD的中點，
∴GE∥AD且$GE=\frac{1}{2}AD$
又底面ABCD是正方形，F(xiàn)為BC的中點，∴BF∥AD且$BF=\frac{1}{2}AD$，
∴GE∥BF且GE=BF，∴四邊形BFEG是平行四邊形，
∴EF∥BG，
又EF?平面PAB，BG?平面PAB，∴EF∥平面PAB…（5分）
（2）解：以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設PA=AD=2，直線PF與平面PAC所成角為θ，
P（0，0，2），F(xiàn)（2，1，0），$\overrightarrow{PF}=（2，1，-2）$，A（0，0，0），C（2，2，0），$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$
設平面PAC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=2z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=0\end{array}\right.$，$\overrightarrow n=（1，-1，0）$…（8分）
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$…（10分）

點評 本題考查線面平行的判定與性質，考查線面角，考查利用向量的方法解決立體幾何問題，屬于中檔題．