Question

在如圖所示的正方體A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)DE與AC夾角的余弦值為（ ）

A．-
B．-
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：取A₁D₁中點(diǎn)，連接EF、DF、A₁C₁，用三角形的中位線(xiàn)和平行線(xiàn)的傳遞性，證出EF∥AC，得∠DEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)DE與AC所成的角．然后在△DEF中求出各邊的長(zhǎng)，再利用余弦定理即可算出異面直線(xiàn)DE與AC夾角的余弦值．
解答：解：取A₁D₁中點(diǎn)，連接EF、DF、A₁C₁，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A∥C₁C且A₁A=C₁C
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，可得A₁C₁∥AC
又∵△A₁C₁D₁中，EF是中位線(xiàn)
∴EF∥A₁C₁，且EF=A₁C₁．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)DE與AC所成的角
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則△DEF中
DF=DE==a，EF=A₁C₁=a
由余弦定理，得cos∠DEF==＞0
可得∠DEF是銳角，因此∠DEF是異面直線(xiàn)DE與AC所成的角，余弦值為
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求異面直線(xiàn)所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)和異面直線(xiàn)所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．