Question

1．如圖，已知P是△ABC所在平面外一點，PA、PB、PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心，求證：PH⊥平面ABC．

2．在本題中，若PA⊥BC，PB⊥AC，試證PC⊥AB．

Answer 1

答案：
解析：

1．證明：∵H是△ABC的垂心， 　　∴AH⊥BC．① 　　∵PA⊥PB，PB⊥PC，PB∩PC＝C， 　　∴PA⊥平面PBC． 　　又∵BC平面PBC，PA⊥BC，② 　　由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH． 　　∴PH⊥平面ABC． 　　2．如圖，作PH⊥平面ABC于點H． 　　∵PH⊥平面ABC， 　　∴BC⊥PH．又∵BC⊥PA， 　　∴BC⊥平面PAH． 　　∴BC⊥AH．同理可證AC⊥BH． 　　∴H是△ABC的垂心，則CH⊥AB． 　　又∵AB⊥PH， 　　∴AB⊥平面ACH． 　　∴PC⊥AB． 　　思路分析：根據(jù)判定定理，要證線面垂直，需證直線和平面內的兩條直線垂直，根據(jù)H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC兩兩垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH內的相交直線PA和AH，結論得證．

提示：

根據(jù)所求證的結論，尋求所需的已知條件，看題目是否已經(jīng)直接給出，或者從題目所給條件，經(jīng)過推理能夠得出，這是分析問題的重要方法，稱為執(zhí)果索因；也可從條件出發(fā)，將這一條件可能得出的結論一一列出，從中選出我們證題所需要的結論，這種分析問題的方法稱為由因導果，發(fā)散性較強．