Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a²_n+1+a_n²+1=2（a_n+1a_n+a_n+1-a_n），求數(shù)列

1

a1a2

，

1

a2a3

，…，

1

anan+1

，…的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：本題要根據(jù)所給條件，化簡整理，得出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列并求出通項(xiàng)，數(shù)列{

1

anan+1

}的和用裂項(xiàng)法即可求得．

解答：解：∵a_n+1²+a_n²+1=2（a_n+1a_n+a_n+1-a_n）
∴a_n+1²-2a_n+1•a_n+a_n²-2（a_n+1-a_n）+1=0
∴（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1-a_n）+1=0
∴（a_n+1-a_n-1）²=0
∴a_n+1-a_n=1∴{a_n}為等差數(shù)列
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n
∴S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

點(diǎn)評：本題考查了分析運(yùn)算能力，以及數(shù)列求和的方法．分析得出數(shù)列是等差數(shù)列，會用裂項(xiàng)法求和是關(guān)鍵．