Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知b_n+1-b_n=2ⁿ．由此能夠求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）做差比較，由b_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1）-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）=-2ⁿ，與0比較可得答案．

解答：解：（1）由已知得a_n=n．從而b_n+1=b_n+2ⁿ，即b_n+1-b_n=2ⁿ．（2分）
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2n-1+2n-2++2+1=

1-2n

1-2

=2n-1．（6分）
（2）因?yàn)閎_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）•（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1）-（2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1）=-2ⁿ＜0，
∴b_n•b_n+2＜b_n+1²．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和不等式的解法，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．