Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若a=1，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)余弦定理關(guān)于cosA、cosC的式子代入已知等式，化簡整理可得（b+c）（b²+c²-a²）=0，從而得到b²+c²=a²，可得△ABC是以A為直角的直角三角形，所以A=；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到b²+c²=a²=1，利用基本不等式得到bc≤b²+c²=，結(jié)合△ABC的面積S=bc可得當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時，△ABC的面積的最大值為．
解答：解：（1）由余弦定理，可得cosA=，cosC=，
代入已知等式，得，…（2分）
即=b+，去分母化簡得c（a²+b²-c²）=2b²c+b（b²+c²-a²），
整理，得（b+c）（b²+c²-a²）=0，
∵b+c＞0，∴b²+c²-a²=0，…（6分）
因此，b²+c²=a²可得△ABC是以A為直角的直角三角形，得A=．…（8分）
（2）由（1）知b²+c²=a²=1，
又∵b²+c²≥2bc，∴bc≤b²+c²，可得bc≤（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取“=”），…（10分）
∵△ABC的面積S=bc，∴S×=，
即當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時，△ABC的面積的最大值為．…（12分）
點評：本題給出△ABC的邊角關(guān)系式，求角A的大小并求△ABC的面積的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和勾股定理等知識，屬于中檔題．