Question

如圖，已知幾何體的三視圖（單位：cm）．
（I）求這個(gè)幾何體的表面積及體積；
（II）設(shè)異面直線A₁Q、PD所成角為θ，求cosθ

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)三視圖畫(huà)出此幾何體的直觀圖，可知此幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)三棱柱組成的組合體，按照三視圖所標(biāo)長(zhǎng)度，分別求兩個(gè)幾何體的體積在求和即可
（II）先作出異面直線所成的角的平面角，即連接QC，再證明∠A₁QC為異面直線A₁Q、PD所成的角（或其補(bǔ)角），最后在△A₁QC中計(jì)算此角的余弦值即可

解答：解：（I）這個(gè)幾何體的直觀圖如圖，這個(gè)幾何體可看成是由正方體AC₁及直三棱柱B₁C₁Q₁-A₁D₁P的組合體，
由PA₁=PD₁=

2

，A₁D₁=AD=2
可得PA₁⊥PD₁，
故所求幾何體的全面積S=5×2²+2×2×

2

+2×

1

2

×(

2

)2=22+4

2

 （cm²）
所求幾何體的體積V=2³+

1

2

×(

2

)2×2=10 （cm³）
（II）由PQ∥CD，且PQ=CD，可知PD∥QC，
故∠A₁QC為異面直線A₁Q、PD所成的角（或其補(bǔ)角）  
由題設(shè)知QA₁²=A₁B₁²+B₁Q²=2²+2=6
CA₁=

3

×2=2

3

，取BC中點(diǎn)E，則QE⊥BC
且QE=3，QC²=QE²+EC²=3²+1²=10
由余弦定理，得cosθ=cos∠A₁QC=

QA12+QC2-A1C2

2QA1•QC

=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

點(diǎn)評(píng)：本題考察了空間想象能力，由三視圖作出幾何體的直觀圖，柱體的體積計(jì)算公式，異面直線所成的角的定義及其求法