Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求通項(xiàng)公式，然后驗(yàn)證a₁=S₁=1，不符合上式，因此數(shù)列{a_n}是分段數(shù)列；
（2）先寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，應(yīng)用錯位相減法，求出T_n．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∵a₁=1不適合上式，
∴
（2）證明：∵．
當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n≥2時(shí)，，①．②
①-②得：=
得，
此式當(dāng)n=1時(shí)也適合．
∴N^*）．
∵，
∴T_n＜1．
當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）．
∵，
∴T₂＜T₁．
故T_n≥T₂，即．
綜上，．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，一般采取錯位相減的方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這種方法要熟練掌握．體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．