Question

直線y=mx+1與橢圓ax²+y²=2交于A，B兩點，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標原點）．
（1）若a=2，求點P的軌跡方程；
（2）若a，m滿足a+2m²=1，求平行四邊形OAPB的面積函數(shù)S（a）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y=mx+1過定點（0，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則OP的中點M為，且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）由，得（a+m²）x²+2mx-1=0，所以，再由點O到AB的距離，能求出S（a）的值域．
解答：解：（1）直線y=mx+1過定點（0，1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則OP的中點M為，
且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，
以上兩式相減，得，
即k_AB•k_OP=-2，
∴，
∴2x²+y²-2y=0，
點P的軌跡方程為2x²+（y-1）²=1（除去原點）．
（2）由，
得（a+m²）x²+2mx-1=0，
∴，
又點O到AB的距離，
∴=．
∵a+2m²=1，
∴0＜a＜1，
∴S（a）的值域為（2，4）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．