Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為d，且不等式ax²-3x+2＜0的解集為（1，d）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=3^a_n+a_n，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得1，d是一元二次方程ax²-3x+2=0的兩根，由韋達(dá)定理得

1+d= 3 a 1•d= 2 a

，由此可解得a，d的值，進(jìn)而可寫出a_n的通項(xiàng)公式．
（II）由（I）知bn=32n-1+2n-1，寫出T_n的表達(dá)式，根據(jù)T_n的結(jié)構(gòu)特征采用分組求和法求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式ax²-3x+2＜0的解集為（1，d），
∴1，d是一元二次方程ax²-3x+2=0的兩根，a≠0，
由韋達(dá)定理得

1+d= 3 a 1•d= 2 a

，解得a=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（II）∵b_n=3^a_n+a_n，a_n=2n-1，∴bn=32n-1+2n-1，
∴Tn=(3+1)+(33+3)+…+(32n-1+2n-1)
=（3+3³+…+3^2n-1）+（1+3+…+2n-1）
=

3(1-9n)

1-9

+

n(1+2n-1)

2

=

3

8

(9n-1)+n2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查分組法求數(shù)列前n項(xiàng)和．是中檔題．