Question

已知點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)Q（a，0）（a＞0）且與x軸不垂直的直線l與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B，若在x軸上存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由過點(diǎn)M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P，可得|PF|=|PM|，利用拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是拋物線，從而求得方程；
（2）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，確定AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用△ABC為正三角形，建立兩個(gè)方程，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵過點(diǎn)M且垂直于直線的直線和線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)P，∴|PF|=|PM|，
∴由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y²=2x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為N（x，y），C（t，0），直線l的方程為x=my+a（m≠0）
與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得：y²-2my-2a=0
∴△=4m2+8a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a
∴y=m，x=m²+a
∵△ABC為正三角形，
∴NC⊥AB，NC=
∴，=
∴t=m²+a+1，=
∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a）
∴a=
∵m≠0，a＞0
∴0＜a＜
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，）．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．