Question

某商場(chǎng)對(duì)A品牌的商品進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)2012年從1月起前x個(gè)月顧客對(duì)A品牌的商品的需求總量P（x）件與月份x的近似關(guān)系是：P（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N⁺）
（1）寫(xiě)出第x月的需求量f（x）的表達(dá)式；
（2）若第x月的銷(xiāo)售量g（x）=

f(x)-21x，1≤x≤7且x∈N+ x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12，且x∈N+

 （單位：件），每件利潤(rùn)q（x）元與月份x的近似關(guān)系為：q（x）=

10ex

x

，問(wèn)：該商場(chǎng)銷(xiāo)售A品牌商品，預(yù)計(jì)第幾月的月利潤(rùn)達(dá)到最大值？月利潤(rùn)最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=P（1）=39，當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=P（x）-P（x-1），從而可求出第x月的需求量f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)月利潤(rùn)達(dá)=銷(xiāo)售量×每件利潤(rùn)建立函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=P（1）=39；
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（41-2x）-

1

2

（x-1）x（43-2x）=3x（14-x）；
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈N⁺）；
（2）設(shè)月利潤(rùn)為h（x），則h（x）=q（x）g（x）=

30ex(7-x)，1≤x≤7且x∈N+ 10 3 x3-100x2+960x，7≤x≤12，且x∈N+

∴h′（x）=

30ex(6-x)，1≤x≤7且x∈N+ 10(x-8)(x-12)，7≤x≤12，且x∈N+

∴當(dāng)1≤x≤6時(shí)，h′（x）≥0，當(dāng)6＜x＜7時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在x∈[1，6]上單調(diào)遞增，在（6，7）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)1≤x＜7且x∈N⁺時(shí)，h（x）_max=h（6）=30e⁶≈12090；
∵當(dāng)7≤x≤8時(shí)，h′（x）≥0，當(dāng)8≤x≤12時(shí)，h′（x）≤0，
∴h（x）在x∈[7，8]上單調(diào)遞增，在（8，12）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)7≤x≤12且x∈N⁺時(shí)，h（x）max=h（8）≈2987＜12090
綜上，預(yù)計(jì)該商場(chǎng)第6個(gè)月的月利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)約為12090元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．