Question

設集合A={x|x＜-2或x＞3}，關于x的不等式x²-ax-2a²≥0的解集為B
（1）當a＜0時，求集合B；
（2）設p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）不等式x²-ax-2a²≥0可化為（x-2a）（x-a）≥0
∵a＜0，∴2a＜a
∴x≤2a或x≥a
∴集合B={x|x≤2a或x≥a}；
（2）∵￢p是￢q的必要不充分條件
∴q是p的必要不充分條件
∴AB
∵集合B={x|（x-2a）（x-a）≥0}
∴①a＜0時，集合B={x|x≤2a或x≥a}，∵集合A={x|x＜-2或x＞3}，∴2a≥-2且a≤3
∴-1≤a≤3，∵a＜0，∴-1≤a＜0；
②a=0時，集合B=R，AB成立；
③a＞0時，集合B={x|x≤a或x≥2a}，∵集合A={x|x＜-2或x＞3}，AB，∴a≥-2且2a≤3
∴-2≤a≤，∵a＞0，∴0＜a≤；
綜上知，-1≤a≤．
分析：（1）不等式x²-ax-2a²≥0可化為（x-2a）（x-a）≥0，根據a＜0，可得2a＜a，從而可得集合B；
（2）根據￢p是￢q的必要不充分條件，可得q是p的必要不充分條件，所以AB，進而分類討論，建立不等式，即可求得實數a的取值范圍．
點評：本題重點考查集合的關系，考查四種條件，考查解不等式，解題的關鍵是對集合B的化簡與討論．