已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且F1B＋F2B＝10，橢圓上不同的兩點A(x1，y1)、C(x2，y2)滿足條件：F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列．

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)由橢圓的定義及已知得2a＝|F1B|＋|F2B|＝10，a＝5，

　　又c＝4，所以b2＝a2－c2＝9．

　　故該橢圓的方程為＋＝1．

　　(2)由題意可得F2(4，0)，F(xiàn)2B＝，設(shè)點A(x1，y1)，C(x2，y2)，則F2A＝，又點A(x1，y1)在橢圓＋＝1上，故有＋＝1，y12＝(25－x12)，代入F2A＝，得F2A＝＝(25－4x1)(或直接利用焦半徑公式)，同理，F(xiàn)2C＝(25－4x2)，因為F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，所以F2A＋F2C＝2F2B．

　　所以(5x1)＋(5x2)＝2×，x1＋x2＝8．故弦AC的中點的橫坐標(biāo)x＝4．

　　(3)將x＝4代入y＝kx＋m(k≠0)，故點M的坐標(biāo)為(4，4k＋m)，則kOM＝＝，

　　又kAC＝＝，由＋＝1，＋＝1，兩式相減，得，即·＝，·＝，k＝，所以4k＋m＝，點M(4，)．又點M(4，)在橢圓＋＝1內(nèi)，所以＋＜1．解得＜m＜，即m的取值范圍為(，)．

　　解析：本題首先利用橢圓的定義將其方程求出；然后利用已知條件將弦的中點橫坐標(biāo)找出；最后一個問題要注意挖掘隱含條件即相應(yīng)的弦中點一定在橢圓內(nèi)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當(dāng)l的斜率為1是，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為.

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？

若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓的方程為(a＞0),其右焦點為F，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓上半部于點P1、P2、P3、P4、P5五個點，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線l過F點(l不垂直坐標(biāo)軸)，且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M(m,0)，試求m的取值范圍.

(文)某廠家擬在2006年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2006年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用).

(1)將2006年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；

(2)該廠家2006年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

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