設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
9
+y2=1的左、右焦點．
（I）若M是該橢圓上的一個動點，求
mF1
•
MF2
的最大值和最小值；
（II）設(shè)過定點（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
分析：（I）由根據(jù)題意建立
MF1
•
MF2
關(guān)于x的函數(shù)，再求最值；
（II）由∠AOB為鈍角，則有
OA
•
OB
＜0，即x1x2+y1y2＜0，可整理為
27
1+9k2
+
-9k2+4
1+9k2
＜0再求得k2的范圍．
解答：解：（I）由已知a=3，b=1，c=2
2
，則F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，設(shè)M(x，y)（2分）
MF1
•
MF2
=(-2
2
-x)(2
2
-x)+y2=
8
9
x2-7?x∈[-3，3]（5分）
所以當x=0時，
MF1
•
MF2
有最小值為-7；
當x=±3時，
MF1
•
MF2
有最大值為1．（7分）
（II）設(shè)點A（x1，y2），B（x2，y2）直線AB方程：y=kx+2
y=kx+2
x2+9y2=9
?(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-
36k
1+9k2
，?x1x2=
27
1+9k2
?y1y2=
-9k2+4
1+9k2
（9分）
因為∠AOB為鈍角，
所以
OA
•
OB
＜0，即x1x2+y1y2＜0?
27
1+9k2
+
-9k2+4
1+9k2
＜0（12分）
解得k2＞
31
9
?k＞
31
3
或
31
3
，此時滿足方程※有兩個不等的實根（14分）
故直線l的斜率k的取值范圍k＞
31
3
或k＜-
31
3
點評：本題主要考查橢圓方程及其性質(zhì)的應(yīng)用及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在構(gòu)造平面圖形解決有關(guān)問題中的應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x=
a2
c
上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點M，N關(guān)于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個動點，點A（5，0），求線段AP中點M的軌跡方程．

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