Question

點O為坐標(biāo)原點，點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，過點F₁的直線l交橢圓于A、B兩點．若l傾斜角為

π

4

，則A、B兩點到左準(zhǔn)線的距離之和為

8

3

，右焦點到l的距離為

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)焦距為2a，c＞0，由點（c，0）到y(tǒng)=-x-c距離為

2c

2

=

2

，得c=1．左準(zhǔn)線x=-

a2

c

=-a2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+a2+x2+a2=

8

3

，由

y=-x-c b2x2+a2y2=a2b2

，得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)l：y=k（x+1），k≠0，由

y=k(x+1) x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，故x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，△=8（k²+1）＞0，所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

2

•

k2+1

2k2+1

．點O到AB距離為d=

|k|

1+k2

，由此能求出△AOB面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)焦距為2a，c＞0，由點（c，0）到y(tǒng)=-x-c距離為

2c

2

=

2

，得c=1．
故左準(zhǔn)線x=-

a2

c

=-a2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+a2+x2+a2=

8

3

，
由

y=-x-c b2x2+a2y2=a2b2

，
得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∴x1+x2=-

2a2c

a2+b2

=-

2a2

2a2-1

，
∴2a2-

2a2

2a2-1

=

8

3

，
∴a²=2，
∴橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)l：y=k（x+1），k≠0，
由

y=k(x+1) x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，
∵x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，△=8（k²+1）＞0，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

2 2 • k2+1

2k2+1

=2

2

•

k2+1

2k2+1

．
點O到AB距離為d=

|k|

1+k2

，
∵△AOB面積S=

1

2

|AB|•d=

2

•

|k| 1+k2

2k2+1

，
∴S＜

2

2

•

k2+(1+k2)

2k2+1

=

2

2

，
當(dāng)l：x=-1時，S=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
故在l：x=-1時△AOB面積的最大值為

2

2

．

點評：本題考查橢圓的方程的求法和求△AOB面積的最大值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．