【題目】如圖,已知直三棱柱中,,,的中點(diǎn),上一點(diǎn),且.

1)證明:平面;

2)求二面角余弦值的大小.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)證明出,可得出,即有,再證明出平面,可得出,然后利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面;

2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用空間向量法計(jì)算出二面角余弦值的大小.

1)由題意知,等腰直角三角形中,中線,且

在直三棱柱中,底面

、平面,從而知,,

一方面,在中,因?yàn)?/span>,則.

,可得,從而可知,又,

則得,由此可得,即有.

另一方面,由,,得平面,

平面,則知.

綜上,,且,又,故平面,得證之;

2)由題意,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

且有、、,

從而有、、,

,可得,

為平面的一個(gè)法向量,

則有,取,得.

又由(1)知平面,故可取為平面的一個(gè)法向量,那么可得.

因此,二面角余弦值的大小為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商場營銷人員進(jìn)行某商品M市場營銷調(diào)查發(fā)現(xiàn),每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù),該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以如表:

反饋點(diǎn)數(shù)t

1

2

3

4

5

銷量百件

1

經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量千件與返還點(diǎn)數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程,并預(yù)測若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量;

若節(jié)日期間營銷部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整已知某地?cái)M購買該商品的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:

返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間

百分比

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

求這200位擬購買該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值X的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替;估計(jì)值精確到;

將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名,再從這6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,設(shè)抽出的3人中“欲望膨脹型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù):,;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知命題pxR,2mx2+mx-<0,命題q:2m+1>1.若“pq”為假,“pq”為真,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

A. (-3,-1)∪[0,+∞) B. (-3,-1]∪[0,+∞)

C. (-3,-1)∪(0,+∞) D. (-3,-1]∪(0,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>,其面積為.①若,則的值唯一;②若,則的值有2個(gè);③若為三角形,則;④若為五邊形,則.以上命題中,真命題的個(gè)數(shù)是( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,ABCDA1B1C1D1是長方體,OB1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確是( )

A.A,M,O三點(diǎn)共線B.AM,O,A1不共面

C.A,M,C,O不共面D.BB1,O,M共面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖①,在等腰梯形中,分別為的中點(diǎn) 中點(diǎn),現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體,在圖②中.

(1)證明:;

(2)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)從購買該平臺(tái)某課程的客戶中,隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù),并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù),客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì),整理得到如表:

學(xué)時(shí)數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

(1)根據(jù)上表估計(jì)男性客戶購買該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位);

(2)從這100位客戶中,對(duì)購買該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人,再從這7人中隨機(jī)抽取2人,求這2人購買的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率.

(3)將購買該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛好該課程者”,25學(xué)時(shí)以下者視,為“非十分愛好該課程者”.請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)?

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

100

附:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題中,錯(cuò)誤的是(

A.一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.平行于同一平面的兩個(gè)不同平面平行

C.若直線不平行平面,則在平面內(nèi)不存在與平行的直線

D.如果平面不垂直平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率是,上頂點(diǎn)B是拋物線的焦點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且(是坐標(biāo)原點(diǎn)),試問:點(diǎn)到直線的距離是否為定值?若是,試求出這個(gè)定值;若不是,請說明理由.

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