Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₁＞1，且
（1）求{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，并記T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₁＞1，且，知6S_n=+3a_n+2，由此利用迭代法能求出{a_n}通項(xiàng)公式．
（2）由，，知，故T_n=，由此利用構(gòu)造法能證明．
解答：解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₁＞1，
且，
∴6S_n=+3a_n+2，①
當(dāng)n≥2時(shí)，，②
①-②，得：，
∴，
∴3（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，n≥2，
當(dāng)n=1時(shí)，，
解得a₁=1，或a₁=2，
∵S₁=a₁＞1，∴a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴T_n=，
∵，
∴3+1＞log₂（3n+2），
∴＞0，
令f（n）=，
則f（n+1）-f（n）＞0，
∴f（n）≥f（1）=＞1，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．