Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的值為（　　）

• A． e+$\frac{1}{{e}^{2}}$
• B． e²+$\frac{1}{e}$
• C． e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$
• D． e+$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e=0可得k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex；再設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，從而求導(dǎo)得g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e）；利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出極值，運(yùn)用函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex與直線y=k的圖象的交點(diǎn)判斷即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e的定義域?yàn)椋?，+∞），
令f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e=0可得k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex；
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，
則g′（x）=$\frac{ln\frac{e}{x}}{{x}^{2}}$-2（x-e）；
故當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，則0＜x＜e；當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，則x＞e；當(dāng)g′（x）=0時(shí)，則x=e；
∴g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
故x=e時(shí)g（x）最大值為g（e）=e²+$\frac{1}{e}$，
∵函數(shù)f（x）=）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=k與g（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
故結(jié)合圖象可知，k=e²+$\frac{1}{e}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值，極值中的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題求解，屬于中檔題．