Question

5．2016年7月23日至24日，本年度第三次二十國集團（G20）財長和央行行長會議在四川省省會成都舉行，業(yè)內(nèi)調(diào)查機構(gòu)i Research （艾瑞咨詢）在成都市對[25，55]歲的人群中隨機抽取n人進行了一次“消費”生活習(xí)慣是否符合理財觀念的調(diào)查，若消費習(xí)慣符合理財觀念的稱為“經(jīng)紀人”，否則則稱為“非經(jīng)紀人”．則如表統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖

組數(shù)	分組	經(jīng)紀人的人數(shù)	占本組 的頻率
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	P
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）；
（Ⅲ）從年齡在[40，55]的三組“經(jīng)紀人”中采用分層抽樣法抽取7人站成一排照相，相同年齡段的人必須站在一起，則有多少種不同的站法？請用數(shù)字作答．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布表，結(jié)合頻率分布直方圖，即可求出n、p和a的值；再補全頻率分布直方圖即可；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，求出眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；
（Ⅲ）求出年齡在[40，55]的三組“經(jīng)紀人”的數(shù)量以及采用分層抽樣法抽取7的人數(shù)，利用排列組合法求出不同的站法即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表知，第一組的人數(shù)為$\frac{120}{0.6}$=200，
頻率為0.04×5=0.2，所以樣本容量為n=$\frac{200}{0.2}$=1000；
由題可知，第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以第二組的人數(shù)為1000×0.3=300，所以p=$\frac{195}{300}$=0.65；
第四組的頻率為0.03×5=0.15，所以第四組的人數(shù)為1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60；
補全頻率分布直方圖如下；

（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖知，
眾數(shù)為最高小矩形的底邊中點坐標，是$\frac{30+35}{2}$=32.5；
又0.2+0.3=0.5，
所以中位數(shù)為35；
平均數(shù)為$\overline{x}$=27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=36.5；
（Ⅲ）年齡在[40，55]的三組“經(jīng)紀人”的數(shù)量是60、30和15，
現(xiàn)從中采用分層抽樣法抽取7人，則分別抽取的人數(shù)為4、2和1；
這7人站成一排照相，相同年齡段的人必須站在一起，
共有${A}_{4}^{4}$•${A}_{2}^{2}$•${A}_{3}^{3}$=288種不同站法．

點評 本題考查了頻率分布表與頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)以及排列組合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．