Question

2．已知函數(shù)f（x）=2x+a，g（x）=lnx-2x，如果對任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，ln2-8]．

Answer 1

分析 求導函數(shù)，分別求出函數(shù)f（x）的最大值，g（x）的最小值，進而可建立不等關系，即可求出a的取值范圍．

解答 解：求導函數(shù)，可得g′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（2）=ln2-4，
∵f（x）=2x+a，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=4+a，
∵對任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴4+a≤ln2-4，
∴a≤ln2-8，
故答案為：（-∞，ln2-8]．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是轉(zhuǎn)化為f（x）_max≤g（x）_min．