Question

已知梯形中，∥，，

，、分別是、上的點，∥，，是的中點.沿將梯形翻折，使平面⊥平面 (如圖) .

           

(Ⅰ) 當(dāng)時，求證：⊥ ；

(Ⅱ) 若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為 ，求的最大值；

(Ⅲ)當(dāng)取得最大值時，求二面角的余弦值.

Answer 1

解:（Ⅰ）（法一）作于，連， 

由平面平面知  平面

而平面，故又四邊形為正方形           

 ∴　 

又，故平面而平面   

∴　 .      （或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）

（法二）∵  平面平面      

 ∴　⊥面平面

∴ ⊥, ⊥,又⊥

故可如圖建立空間坐標(biāo)系．

則，，　　

∴ 

∴   .　 

（Ⅱ） ∵　，面面  

∴ 面

又由（Ⅰ）平面   ∴          

所以 ＝

 

     

即時有最大值為．

（Ⅲ）（法一）作于，作，連

由三垂線定理知

∴  是二面角的平面角的補角   

由∽，知

而，

∴　　又

∴　在中，

因為∠是銳角   ∴∠＝　 

而∠是二面角的平面角的補角

故二面角的余弦值為－.

（法二）設(shè)平面的法向量為

∵  ,，， 

∴   

則     即

取   則    ∴    

面的一個法向量為

則<> 

由于所求二面角的平面角為鈍角，

所以，此二面角的余弦值為－.