Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC=2AD=4，AE=BE=2，G是BC的中點．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求直線BD與平面BCFE所成角的正切值；
（3）求證：BD⊥EG．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明四邊形ADGB是平行四邊形，可得AB∥DG，從而證明AB∥平面DEG；
（2）過D作DH∥AE，交EF于H，連接BH，由線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得到DH⊥平面BCFE，則∠DBH是直線BD與平面BCFE所成角，求出DH，BH，即可得到所成角的正切；
（3）過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再證BH⊥EG，從而可證EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．

解答： （1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC． 
又∵BC=2AD，G是BC的中點，∴AD∥BG，AD=BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（2）解：過D作DH∥AE，交EF于H，連接BH，
由于AE⊥EB，又EF⊥平面AEB，則EF⊥AE，
則有AE⊥平面BCFE，則DH⊥平面BCFE，
則∠DBH是直線BD與平面BCFE所成角，
在三角形BDH中，DH=AE=2，BH=

BE2+EH2

=2

2

，
則tan∠DBH=

DH

BH

=

2

2

；
（3）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．
過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，
∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG．
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．

點評：本題考查證明線面平行、線線垂直的判定和性質(zhì)定理及運用，考查直線和平面所成角的求法，考查推理能力，屬于中檔題．