已知函數(shù)f(log2x)=x2+2x
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)若方程f(x)=a•2x-4在(0,2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)利用“換元法”,設(shè)t=log2x,t∈R,則x=2t.代入原式即可得出;
(2)方程f(x)=a•2x-4在(0,2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根?22x+(2-a)•2x+4=0,在(0,2)有兩個(gè)不等實(shí)根,令2x=m,h(m)=m2+(2-a)m+4,m∈(1,4)可得
△>0
h(1)>0,h(4)>0
1<
a-2
2
<4
解出即可.
解答:解:(1)設(shè)t=log2x,t∈R,則x=2t
∵函數(shù)f(log2x)=x2+2x
∴f(t)=22t+2•2t
∴把t換成x可得:f(x)=22x+2•2x
(2)方程f(x)=a•2x-4在(0,2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根?22x+(2-a)•2x+4=0,在(0,2)有兩個(gè)不等實(shí)根,
令2x=m,h(m)=m2+(2-a)m+4,
∵x∈(0,2),∴m∈(1,4).
∴函數(shù)h(m)在(1,4)上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
必有
△=(2-a)2-16>0
h(1)=1+(2-a)+4>0
h(4)=16+4(2-a)+4>0
1<
a-2
2
<4
,解得6<a<7.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(6,7).
點(diǎn)評(píng):本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化及其性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、“換元法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,屬于基礎(chǔ)題.
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log2|x-4|(x≠4)
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