Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=a（S_n﹣a_n+1）（a為常數(shù)，a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n中，S₅為最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）s₁=a（s₁﹣a₁+1），
∴a₁=a． 當(dāng) n≥2時(shí)，由 S_n=a（S_n﹣a_n+1）可得，S_n﹣1=a（S _n﹣1﹣a _n﹣1+1）．
兩式相減得：a_n=a a _n﹣1，
由于a為常數(shù)，a＞0且a≠1，
∴=a，
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=a a _n﹣1=a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=|a|+1﹣n，
∴b _n+1=|a|﹣n，b _n+1﹣b_n=﹣1，即數(shù)列{b_n}為以 a為首項(xiàng)，公差為﹣1的等差數(shù)列．
由題意數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列且S₅為最大值，
∴， ，
又a＞0，解得4≤a≤5．