Question

有四個數，前三個成等差數列，后三個成等比數列，中間兩個數的和為10，其它兩個數的和為11，求這四個數．

Answer 1

解：設四個數分別為a、b、10-b、11-a，
∵前三個成等差數列，后三個成等比數列，
則2b=a+（10-b），（10-b）²=b（11-a），
即，
把①代入②得：b²-31b+b（3b-10）+100=0，
即4b²-41b+100=0，
分解因式得：（b-4）（4b-25）=0，
解得：b=4或b=，
∴a=2或a=，
∴或，
∴這四個數為2、4、6、9或、、、．
分析：由中間兩個數和為10，設第二個數為b，得到第三個數為10-b，由其它兩個數和為11，設第一個數為a，得到第四個數為11-a，然后由前三個成等差數列，后三個成等比數列，利用等差、等比數列的性質列出關于a與b的兩個方程，聯立兩方程得到方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，即可確定出這四個數．
點評：此題考查了等差、等比數列的性質，利用了方程的思想，熟練掌握等差、等比數列的性質是解本題的關鍵．