Question

如圖，DA⊥平面ABC，BC⊥AC，E、F分別為BD與CD的中點，DA=AC=BC=2．
（1）證明：EF∥平面ABC；
（2）證明：EF⊥平面DAC；
（3）求三棱錐D-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）連接EF，證明EF∥BC，由線面平行的判定定理可證EF∥平面ABC；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)證明DA⊥BC，又BC⊥AC，由線面垂直的判定定理可證EF⊥平面DAC；
（3）先求三棱錐E-ADF的高與底面面積，再根據(jù)三棱柱的換底性，求三棱錐E-ADF的體積可得答案．

解答：解：（1）證明：連接EF，
∵E，F(xiàn)為中點，∴EF∥BC，
∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵DA⊥面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，
∵BC⊥AC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面DAC
又∵EF∥BC，∴EF⊥平面DAC；
（3）連接AE，AF，由（2）知EF⊥平面ABC，
∴EF為三棱錐E-ADF的高，EF=

1

2

BC=1，
又AD=AC，AD⊥AC，F(xiàn)為CD的中點，
∴AF⊥CD，AF=

2

，DF=

2

，
∴VD-AEF=VE-ADF=

1

3

×S△ADF×EF=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×1=

1

3

．

點評：本題考查了線面平行的證明，線面垂直的證明，考查了三棱錐的體積計算，利用三棱錐的換底性求其體積是常用方法．