Question

傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}，可以推測：
（Ⅰ）b₂₀₁₄是數(shù)列{a_n}中的第

 

項；
（Ⅱ）若n為正偶數(shù)，則b₁-b₃+b₅-b₇+…+（-1）^n-1b_2n-1

 

．（用n表示）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，由a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n-a_n-1=n，利用“累加求和”可得a_n=

n(n+1)

2

．只有當(dāng)n或n+1能夠被5整除時，a_n可被5整除，
因此數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}為：a₄，a₅，a₉，a₁₀，…，可得b₂₀₁₄是數(shù)列{a_n}中的第

2014

2

×5項．
（II）由（I）可得：b₁-b₃=a₄-a₉=

4×5

2

-

9×10

2

=-35，b₅-b₇=a₁₄-a₁₉，b₉-b₁₁=a₂₄-a₂₉，…．可得b_2n-3-b_2n-1=a_5n-6-a_5n-1=-25n+15，
可得b₁-b₃+b₅-b₇+…+（-1）^n-1b_2n-1=-25×（2+4+…+2k）+15k（n=2k，k∈N^*）．

解答： 解：（I）將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，∵a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n-a_n-1=n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

．
只有當(dāng)n或n+1能夠被5整除時，a_n可被5整除，
因此數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}為：a₄，a₅，a₉，a₁₀，…，
可得b₂₀₁₄是數(shù)列{a_n}中的第

2014

2

×5=5035項．
（II）由（I）可得：b₁-b₃=a₄-a₉=

4×5

2

-

9×10

2

=-35，b₅-b₇=a₁₄-a₁₉，b₉-b₁₁=a₂₄-a₂₉，…．
∴b_2n-3-b_2n-1=a_5n-6-a_5n-1=

(5n-6)(5n-5)

2

-

(5n-1)(5n-1+1)

2

=-25n+15，
∴b₁-b₃+b₅-b₇+…+（-1）^n-1b_2n-1=-25×（2+4+…+2k）+15k=-25k²-10k=-

25n2+20n

4

（n=2k，k∈N^*）．
故答案分別為：5035，-

25n2+20n

4

（n=2k，k∈N^*）．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、整數(shù)的整除理論、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．