Question

已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個高為2的內(nèi)接圓柱．
（1）求圓柱的側(cè)面積：
（2）高為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件能畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，在圓錐內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱，設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r．它的側(cè)面積S=2πrx，由 =，能求出圓柱的側(cè)面積．
（2）由圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)S=-x²+2πRx，能推導(dǎo)出當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的一半時，它的側(cè)面積最大．
解答：解：（1）圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面如圖所示．
設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r．它的側(cè)面積S=2πrx，
∵=，∴r=R-•x，
∴S=2πRx-x²．
當(dāng)x=2時，圓柱的側(cè)面積為4πR-．
（2）由（1）知圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)：
S=-x²+2πRx，
∵S的表達式中x²的系數(shù)小于0，
∴這個二次函數(shù)有最大值，
這時圓柱的高x=，
即當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的一半時，它的側(cè)面積最大．
點評：本題考查圓柱的側(cè)面積的求法，考查圓柱的側(cè)面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．