如圖，已知M(-3m，0)(m＞0)，N、P兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足，.

(Ⅰ)求動點Q的軌跡方程；

(Ⅱ)若正方形ABCD的三個頂點A、B、C在點Q的軌跡上，求正方形ABCD面積的最小值.

解：(1)設Q(x,y),因為,所以N(0,),

又M(-3m,0),所以=(3m,),=(x,),

由已知=0,則3mxy2=0,y2=4mx.

即Q點軌跡方程為y2=4mx.

(Ⅱ)如圖,不妨設正方形在拋物線上的三個頂點中A、B在x軸的下方(包括x軸),記A、B、C的坐標分別為(x1,y1),(x2,x2),(x3,y3),其中y3＞0≥y2＞y1并設直線AB的斜率為k(k＜0)

則有                  ①

又因為A、B、C在拋物線y2=4mx上,故有x1=,x2=,x3=代入①式得

y1=y2,y3=-4mk-y2                        ②

∵|AB|=|BC|即

∴(y2-y1)=(y3-y2)

∴(y2-y1)=-k(y3-y2)將②代入可得：y2+y2=-k(-4mk-2y2)

即-4mk2-=-2(-k+1)y2,得y2=

正方形的邊長為|AB|=(y3-y2)=(-4mk-2y2)

=(-4mk)=4m[-k-]=4m

易知所以4m

所以正方形ABCD面積的最小值為32m2

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