Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5s_n+1成立，記．，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：b_2k-1+b_2k＜8（k為正整數(shù)）；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為R_n，是否存在正整數(shù)k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=5a₁+1，∴．又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即，∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項
∴
（II）證明：由（I）知由b_n=4+，∴b_2k-1+b_2k=8+（-4）2k-1=8
（Ⅲ）不存在正整數(shù)k，使得R_k≥4k成立．證明如下：
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m（m∈N^*），∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m=4n
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m-1（m∈N^*），∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1＜8m-4=4n
∴對于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4n，∴不存在正整數(shù)k，使得R_k≥4k成立．
分析：（Ⅰ）令n等于1代入a_n=5s_n+1中，即可求出首項a₁，然后把n換為n+1，利用a_n=5s_n+1表示出a_n+1，兩個式子相減并利用S_n+1-S_n=a_n化簡后即可得到 的值即為公比，得到此數(shù)列為等比數(shù)列，然后根據(jù)首項和公比寫出數(shù)列的通項公式即可，因而可得出b_n的通項公式；
（Ⅱ）由（I）知由b_n=4+，從而可證；
（Ⅲ）根據(jù)b_n的通項公式，算出的前n項和為R_n，再計算出是否存在正整數(shù)k．
點評：此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求出，會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，考查數(shù)列遞推式的求解及相關(guān)計算．是一道綜合題．