設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為sn,對任意的正整數(shù)n,都有an=5sn+1成立,記數(shù)學(xué)公式.,
(Ⅰ)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)證明:b2k-1+b2k<8(k為正整數(shù));
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Rn,是否存在正整數(shù)k,使得Rk≥4k成立?若存在,找出一個正整數(shù)k;若不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時,a1=5a1+1,∴.又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1
∴an+1-an=5an+1,即,∴數(shù)列{an}成等比數(shù)列,其首項

(II)證明:由(I)知由bn=4+,∴b2k-1+b2k=8+(-4)2k-1=8
(Ⅲ)不存在正整數(shù)k,使得Rk≥4k成立.證明如下:
∴當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2m(m∈N*),∴Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)<8m=4n
當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2m-1(m∈N*),∴Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8m-4=4n
∴對于一切的正整數(shù)n,都有Rn<4n,∴不存在正整數(shù)k,使得Rk≥4k成立.
分析:(Ⅰ)令n等于1代入an=5sn+1中,即可求出首項a1,然后把n換為n+1,利用an=5sn+1表示出an+1,兩個式子相減并利用Sn+1-Sn=an化簡后即可得到 的值即為公比,得到此數(shù)列為等比數(shù)列,然后根據(jù)首項和公比寫出數(shù)列的通項公式即可,因而可得出bn的通項公式;
(Ⅱ)由(I)知由bn=4+,從而可證;
(Ⅲ)根據(jù)bn的通項公式,算出的前n項和為Rn,再計算出是否存在正整數(shù)k.
點評:此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求出,會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列,考查數(shù)列遞推式的求解及相關(guān)計算.是一道綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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