Question

設(shè)a為大于0的常數(shù)，函數(shù)f（x）=

x

-ln（x+a）．
（1）當(dāng)a=

3

4

，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）若使函數(shù)f（x）為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a的值代入后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求極大值與極小值．
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)在∈[0，+∞）大于等于0恒成立的問(wèn)題，從而得解．

解答：解：（1）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，f′（x）=

1

2 x

-

1

x+ 3 4

，
令f′（x）=0，則x-2

x

+

3

4

=0，∴x=

9

4

或

1

4

，
當(dāng)x∈[0，

1

4

]時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

4

，

9

4

），f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（

9

4

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）_極大值=f（

1

4

）=

1

2

，f（x）_極小值=f（

9

4

）=

3

2

-ln3．
（2）f′（x）=

1

2 x

-

1

x+a

，若f（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴

1

2 x

≥

1

x+a

，即x+a≥2

x

，
即a≥2

x

-x=-（

x

-1）²+1恒成立，
∴a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)每年高考的熱點(diǎn)，要重視．